ax +b =t とおける置換積分

${\displaystyle F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)}$のとき

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$${\displaystyle \left(a\ne 0\right)}$

■式の導出

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx}$  

${\displaystyle ax+b=t}$  とおく(置換積分)と， ${\displaystyle \frac{dt}{dx}=a\to dx=\frac{1}{a}dt}$より

${\displaystyle =\int f\left(t\right)\frac{1}{a}dt}$ ${\displaystyle =\frac{1}{a}\int f\left(t\right)dt}$ ${\displaystyle =\frac{1}{a}F\left(t\right)+C}$ ${\displaystyle =\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$

となり上式が得られる．

あるいは，合成関数の微分より

${\displaystyle {\left(\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)\right)}^{\prime }}$${\displaystyle =\frac{1}{a}{F}^{\prime }\left(ax+b\right)\cdot {\left(ax+b\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\frac{1}{a}f\left(ax+b\right)\cdot a}$

${\displaystyle =f\left(ax+b\right)}$

となり上式が得られる．

■具体例

${\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}log\left|ax+b\right|+C}$   ⇒計算手順はここ

 

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最終更新日： 2023年10月4日