積分　1/(a^2-x^2)^(1/2)

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx={sin}^{-1}\frac{x}{a}+C}$　${\displaystyle \left(a>0\right)}$

■導出

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}$　　･･････(1)　　${\displaystyle \left(a>0\right)}$

${\displaystyle a^2-x^2>0}$より，これを因数分解すると

${\displaystyle \left(a-x\right)\left(a+x\right)>0\\ }$

${\displaystyle \left(x-a\right)\left(x+a\right)<0}$

${\displaystyle -a<x<a}$

となる．よって

${\displaystyle x=a\sin \theta \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)}$　･･････(2)

とおき，置換積分をする． ${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=a\cos \theta }$より

${\displaystyle dx=a\cos \theta d\theta }$　……(3)

となる．

(1)式に(2)・(3)式をそれぞれ代入し，置換積分すると

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}^{\text{}}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}$ ${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}^{\text{}}\frac{a\cos \theta }{\sqrt{a^2\left(1-{\sin }^2\theta \right)}}d\theta }$

$={\displaystyle \int \frac{a\cos \theta }{\sqrt{a^2\left(1-{\sin }^2\theta \right)}}d\theta }$

$={\displaystyle \int \frac{a\cos \theta }{a\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}d\theta }$

${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$ → ${\displaystyle 1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta }$

${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$ → ${\displaystyle \cos \theta >0}$ → ${\displaystyle \sqrt{{\cos }^2\theta }=\cos \theta }$

$={\displaystyle \int \frac{a\cos \theta }{a\cos \theta }d\theta }$

$={\displaystyle \int d\theta }$

$=\theta$

ここで，(2)式を${\displaystyle \theta }$についての式に変形すると，（アークサイン参照）

${\displaystyle x=asin\theta \to \theta ={sin}^{-1}\frac{x}{a}}$

となる．これを上式に代入すると

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx={sin}^{-1}\frac{x}{a}+C}$

となる．

微分の公式

${\displaystyle {\left({\sin }^{-1}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$  (参照)

を用いて求めることもできる．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2\left\{1-{\left(\frac{x}{a}\right)}^2\right\}}}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{a\sqrt{1-{\left(\frac{x}{a}\right)}^2}}dx}}$

${\displaystyle \frac{x}{a}=t}$ とおく．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{a}}$ → ${\displaystyle \frac{1}{a}dx=dt}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}}$

${\displaystyle ={\sin }^{-1}t+C}$

変数を $t$ から $x$ に戻す．

${\displaystyle ={\sin }^{-1}\frac{x}{a}+C}$

　

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最終更新日 2024年7月18日