不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {\left(3x^2-5x+2\right)}^2\left(6x-5\right)dx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}{\left(3x^2-5x+2\right)}^3+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　(C は積分定数)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle 3x^2-5x+2=t}$　とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=6x-5}$ 　∴${\displaystyle dt=\left(6x-5\right)dx}$ 　　

（${\displaystyle 3x^2-5x+2}$ を微分すると ${\displaystyle 6x-5}$ になるのは，微分 ${\displaystyle x^{\alpha }}$ を参照）

与式${\displaystyle =\int t^{2}dt}$ 　　

（置換積分法の公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{t}^3+C}$ 　　

（方針の公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(3x^2-5x+2\right)}^3+C}$ 　　

（最初に　${\displaystyle 3x^2-5x+2=t}$ 　と置換したので，元に戻す）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{3}{\left(3x^2-5x+2\right)}^3+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle {\left(3x^2-5x+2\right)}^2\left(6x-5\right)}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日