不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int log2xdx}$

■答

${\displaystyle xlog2x-\frac{1}{2}x+C}$ （ C は積分定数）

■ヒント

部分積分法より

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int log2xdx=\int \left(log2x\right)·{\left(x\right)}^{\prime }dx}$ と見て部分積分法を用いる．

（ ${\displaystyle log2x=\left(log2x\right)·1=\left(log2x\right)·{\left(x\right)}^{\prime }}$ と考える．）

（ ${\displaystyle 1={\left(x\right)}^{\prime }}$ となるのは，微分 ${\displaystyle x^{\alpha }}$ を参照）

与式 ${\displaystyle =\int \left(log2x\right)·{\left(x\right)}^{\prime }dx}$

${\displaystyle =\left(log2x\right)·\left(x\right)-\int {\left(log2x\right)}^{\prime }·\left(x\right)dx}$

（方針の公式にあてはめる）

${\displaystyle =xlog2x-\int \left(\frac{1}{2x}\right)·\left(x\right)dx}$

（ ${\displaystyle {\left(log2x\right)}^{\prime }}$ が ${\displaystyle \frac{1}{2x}}$ になるのは， 微分 ${\displaystyle logx}$ を参照）

${\displaystyle =xlog2x-\frac{1}{2}\int dx}$

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =xlog2x-\frac{1}{2}x+C}$

（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle xlog2x-12x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle log2x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年12月18日