不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int xsinxdx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -xcosx+sinx+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int xsinxdx=\int x{\left(-cosx\right)}^{\prime }dx}$ とおいて考える．

（ ${\displaystyle sinx={\left(-cosx\right)}^{\prime }}$ となるのは， ${\displaystyle cosx}$ の微分を参照）

与式 ${\displaystyle =\int x{\left(-cosx\right)}^{\prime }dx}$

（方針の公式にあてはめる）

${\displaystyle =x·\left(-cosx\right)-\int x^{\prime }·\left(-cosx\right)dx}$

（ ${\displaystyle x^{\prime }=1}$ となるのは，微分 ${\displaystyle x^{\alpha }}$ を参照）

${\displaystyle =x·\left(-cosx\right)-\int \left(-cosx\right)dx}$

（三角関数の積分を参照）

${\displaystyle =-xcosx+sinx+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数） 　　

　

■確認問題

求まった答え　 ${\displaystyle -xcosx+sinx+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle xsinx}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年8月18日