不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{3x^3+12x+1}{x^2+4}dx}$ 　 　

■答

${\displaystyle \frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{tan}^{-1}\frac{x}{2}+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

分子の次数を分母の次数より下げるように，式を変形する．

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx}=\frac{1}{1+a}{x}^{1+a}+C}$ 　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）　･･････(1)

${\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}{tan}^{-1}\frac{x}{a}+C}$　･･････(2) 　

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \frac{3x^3+12x+1}{x^2+4}}$${\displaystyle =\frac{3x\left(x^2+4\right)}{x^2+4}+\frac{1}{x^2+4}}$${\displaystyle =3x+\frac{1}{x^2+4}}$

と考える．

与式${\displaystyle =\int \left(3x+\frac{1}{x^2+4}\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\int 3xdx+\int \frac{1}{x^2+4}dx}$ 　　

（不定積分の基本式の${\displaystyle 2}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{tan}^{-1}\frac{x}{2}+C}$ 　　

（ヒント公式${\displaystyle \left(1\right)}$，${\displaystyle \left(2\right)}$にあてはめた）

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{tan}^{-1}\frac{x}{2}+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{3x^3+12x+1}{x^2+4}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日