不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．　

${\displaystyle \int e^{3x}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}{e}^{3x}+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

${\displaystyle \int e^x\mathit{dx}=e^x+C}$　　（C は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int e^{3x}dx}$ 　

${\displaystyle 3x=t}$ とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle x=\frac{1}{3}t\to \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}}$ 　∴${\displaystyle dx=\frac{1}{3}dt}$ 　

与式${\displaystyle =\int e^t·\frac{1}{3}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\int e^{t}dt}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{3}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{e}^t+C}$ 　

（公式にあてはた）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{e}^{3x}+C}$

（最初に，${\displaystyle 3x=t}$ と置換したので，元に戻した）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{1}{3}{e}^{3x}+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle e^{3x}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle \int e^{3x}dx}$

最終更新日： 2023年11月24日