不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{log2x}{x}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle {\left(log2x\right)}^2+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

${\displaystyle log2x=t}$ とおく置換積分をする． 

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle log2x=t}$ とおくと 　

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2x}}$，${\displaystyle \frac{1}{x}dx=2dt}$　･･････(1)

となる．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

与式${\displaystyle =\int 2tdt}$

（与式に�@を代入する）

${\displaystyle =2\int tdt}$ 　　

（${\displaystyle 2}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =2·\frac{1}{2}{t}^2+C}$ 　　

（ヒントの公式にあてはめた）

${\displaystyle =t^2+C}$ 　　

${\displaystyle ={\left(log2x\right)}^2+C}$ 　　

（最初に　${\displaystyle log2x=t}$ 　と置換したので，元に戻した）

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle {\left(log2x\right)}^2+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{log2x}{x}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日