不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(x+1\right)}^{5}dx}}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{6}{\left(x+1\right)}^6+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　･･････(1) 　

（$C$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(x+1\right)}^{5}dx}}$ 　

${\displaystyle x+1=t}$ 　とおいて，置換積分をする．（置換積分については置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$　→　${\displaystyle dx=dt}$ 　　　

よって

${\displaystyle =\frac{1}{6}{t}^6+C}$ 　

(基本となる関数の積分を参照)

${\displaystyle =\frac{1}{6}{\left(x+1\right)}^6+C}$ 　

（最初に，${\displaystyle x+1=t}$と置換したので，元にもどした）

　

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最終更新日： 2023年11月24日