不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\cos }^{3}x\sin xdx}}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}{\cos }^{4}x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int {\cos }^{3}x\sin xdx}}$

${\displaystyle \cos x=t}$ とおき，置換積分法で計算を進める．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ 　→　${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int t^3\left(-1\right)dt}}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int t^{3}dt}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3+1}{t}^{3+1}+C}$

（(1)を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{t}^4+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{\cos }^{4}x+C}$　　（$C$は積分定数）

（${\displaystyle t=\cos x}$ より変数を$t$から$x$に戻した）

　

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最終更新日： 2024年7月9日