不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(12x^5-15x^4\right)dx}}$

■答

${\displaystyle 2x^6-3x^5+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(12x^5-15x^4\right)dx}}$

積分の線形性より，与式を以下のように式を変形する

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int 12x^{5}dx}+{\displaystyle \int 15x^{4}dx}}$ ${\displaystyle =12{\displaystyle \int x^{5}dx}+15{\displaystyle \int x^{4}dx}}$

ヒントの(1)より

${\displaystyle =\frac{12}{5+1}{x}^{5+1}-\frac{15}{4+1}{x}^{4+1}+C}$

${\displaystyle =2x^6-3x^5+C}$　　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle 2x^6-3x^5+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 12x^5-15x^4}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日