不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)dx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)dx}}$

${\displaystyle x-\frac{\pi }{4}=t}$とおき，置換積分を用いて計算する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$　→　${\displaystyle dx=dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \sin tdt}}$

(与式に${\displaystyle x-\frac{\pi }{4}=t}$，${\displaystyle dx=dt}$ を代入した)

${\displaystyle =-\cos t+C}$　　（$C$は積分定数）

(ヒントの式(1)を参照)

${\displaystyle =-\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+C}$　　（$C$は積分定数）

　

●別解

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)dx}}$

被積分関数を加法定理で書き換える

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}{\displaystyle \int \left(\sin x-\cos x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\cos x-\sin x\right)+C}$

${\displaystyle =-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x+\sin x\right)+C}$

これも答になる．上記答と一致するようかを式変形をして確認する．

${\displaystyle =-\left\{\left(\cos x\right)\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(\sin x\right)\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}+C}$

${\displaystyle =-\left(\cos x\cos \frac{\pi }{4}+\sin x\sin \frac{\pi }{4}\right)+C}$

${\displaystyle =-\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+C}$

上記答と一致した．

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle -\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2026年2月9日