不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}\right)dx}}$

■答

${\displaystyle -\frac{2}{x}+\log \left|x\right|+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\log \left|x\right|+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}\right)dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(2x^{-2}+\frac{1}{x}\right)dx}}$

(第1項を${\displaystyle x}$ の累乗の形に変形した)

${\displaystyle =\frac{2}{-2+1}{x}^{-2+1}+\log \left|x\right|+C}$　（$C$は積分定数）

（ヒントの式(1)，(2)を参照）

${\displaystyle =-2x^{-1}+\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle =-\frac{2}{x}+\log \left|x\right|+C}$　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle -\frac{2}{x}+\log \left|x\right|+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2025年3月6日