不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

x ( x 2 +1 ) 3 dx

■答

1 8 ( x 2 +1 ) 4 +C   Cは積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C   Cは積分定数) ・・・・・・(1)

の公式を用いる.

■解説

x ( x 2 +1 ) 3 dx

x 2 +1=t と置いて,置換積分をする.

dt dx =2x  →  xdx= 1 2 dt

よって

与式 = t 3 1 2 dt

( x 2 +1=t xdx= 1 2 dt を与式に代入した)

= 1 2 t 3 dt

= 1 2 1 3+1 t 3+1 +C   Cは積分定数)

(基本となる関数の積分参照)

= 1 8 t 4 +C

= 1 8 ( x 2 +1 ) 4 +C   Cは積分定数)

( t= x 2 +1 より変数をtからxに戻した )

 

■確認問題

求まった答え 1 8 ( x 2 +1 ) 4 +C を微分し,積分前の式 x ( x 2 +1 ) 3 に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2024年5月13日