不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x}{2\sqrt{x}}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}x\sqrt{x}+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x}{2\sqrt{x}}dx}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x}}dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int x\cdot x^{-\frac{1}{2}}dx}}$

(被積分関数を を塁乗の形に書き換えた)

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int x^{\frac{1}{2}}dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}+C}$　（$C$は積分定数）

(ヒントの公式(1)を参照)

${\displaystyle =\frac{1}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}x\sqrt{x}+C}$

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{3}x\sqrt{x}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{x}{2\sqrt{x}}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日