不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．ただし${\displaystyle a\ne 0}$ である.

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(a\sin x-x^2\right)dx}}$

■答

${\displaystyle -a\cos x-\frac{1}{3}{x}^3+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$（$C$は積分定数）　･･････(1)

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(a\sin x-x^2\right)dx}}$${\displaystyle =a{\displaystyle \int \sin xdx-{\displaystyle \int x^{2}dx}}}$

(積分の線形性を利用して式を変形した)

${\displaystyle =a\cdot \left(-\cos x\right)-\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+C}$　（$C$は積分定数）

（ヒントの公式(1)，(2)を参照）

${\displaystyle =-a\cos x-\frac{1}{3}{x}^3+C}$　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle -a\cos x-\frac{1}{3}{x}^3+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle a\sin x-x^2}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日