不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3x^2}{x-a}dx}}$

■答

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\log \left|x\right|+C}}$　（$C$は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3x^2}{x-a}dx}}$

${\displaystyle x-a=t}$ と置き，置換積分する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$ 　→　${\displaystyle dx=dt}$

${\displaystyle x=t+a}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{3{\left(t+a\right)}^2}{t}dt}}$

(${\displaystyle x-a=t}$ , ${\displaystyle x=t+a}$，${\displaystyle dx=dt}$ を代入した)

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{3t^2+6at+3a^2}{t}dt}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(3t+6a+\frac{3a^2}{t}\right)}dt}$

(分子を分母の${\displaystyle t}$ で割る)

${\displaystyle =\frac{3}{1+1}{t}^2+6at+3a^2\log \left|t\right|+C}$　（$C$は積分定数）

（(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{2}{t}^2+6at+3a^2\log \left|t\right|+C}$

(${\displaystyle t=x-a}$ を元に戻す)

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{3}{2}\left(x-a\right)\left(x+3a\right)+3a^2\log \left|x-a\right|+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{3x^2}{x-a}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日