不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int 2x\log xdx}}$

■答

${\displaystyle x^2\log x-\frac{1}{2}{x}^2+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

部分積分法より

${\displaystyle {\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }}\left(x\right)}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int 2x\log xdx}}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=2x}$ , ${\displaystyle g\left(x\right)=\log x}$ とする部分積分をする．

${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ , ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}}$　(ここを参照)

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\int 2x\log xdx}$

ヒントの公式(1)を適用する

${\displaystyle =x^2\log x-{\displaystyle \int \left(x^2\cdot \frac{1}{x}\right)dx}}$

${\displaystyle =x^2\log x-{\displaystyle \int xdx}}$

（ヒントの公式(2)を適用する

${\displaystyle =x^2\log x-\frac{1}{2}{x}^2+C}$　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle x^2\log x-\frac{1}{2}{x}^2+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 2x\log x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年7月31日