不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2+4}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{6}{\tan }^{-1}\frac{3x+1}{2}+C}$　 （$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の その他 より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}}dx=\frac{1}{a}{\tan }^{-1}\frac{x}{a}+C}$　 （$C$は積分定数）

の公式を用いる．

■答

${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2+4}dx}$

この問題では，ヒントの公式の ${\displaystyle x}$ は${\displaystyle 3x+1}$，${\displaystyle a}$は$2$に対応している．公式を適用する．

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2+2^2}}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}·\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{3x+1}{2}+C}$

（先頭の${\displaystyle \frac{1}{3}}$ については，ここを参照）

${\displaystyle =\frac{1}{6}{\tan }^{-1}\frac{3x+1}{2}+C}$

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{6}{tan}^{-1}\frac{3x+1}{2}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2+4}}$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日