積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線 ${\displaystyle y=x^2-x-1}$ と直線 ${\displaystyle y=2x+3}$ で囲まれた面積を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{125}{6}}$

■解説

${\displaystyle y=x^2-x-1}$ と ${\displaystyle y=2x+3}$ の交点の ${\displaystyle x}$ 座標を求める．

${\displaystyle x^2-x-1=2x+3}$

${\displaystyle x^2-3x-4=0}$

${\displaystyle (x+1)(x-4)=0}$

${\displaystyle x=-1\text{,}4}$

${\displaystyle y=x^2-x-1}$ と ${\displaystyle y=2x+3}$ に囲まれた面積は図のようになる．

求める面積 $S$ は，面積の計算より

${\displaystyle S={\displaystyle {\int }_{-1}^4\left\{2x+3-(x^2-x-1)\right\}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-1}^4\left(-x^2+3x+4\right)dx}}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+4x\right]}_{-1}^4}$

${\displaystyle =\frac{125}{6}}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日：2025年11月7日