積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線${\displaystyle y=-x^4+2x^3}$，直線${\displaystyle x=1}$，${\displaystyle x}$軸で囲まれた面積を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{13}{10}}$

■ヒント

曲線と${\displaystyle x}$軸で囲まれた面積の求め方

1．曲線のグラフを書く．

2．グラフと${\displaystyle x}$軸との共有点と上下関係を調べて面積を求める．

■解説

${\displaystyle y=-x^4+2x^3}$

${\displaystyle =-x^3(x-2)}$

${\displaystyle y=0}$ とすると，${\displaystyle x=0,2}$

${\displaystyle y^{\prime }=-4x^3+6x^2}$

${\displaystyle =-2x^2(2x-3)}$

${\displaystyle y^{\prime }=0}$とすると，${\displaystyle x=0,\frac{3}{2}}$

${\displaystyle y}$ における増減表を次のようになる．

よって，${\displaystyle y=-x^4+2x^3}$ ，${\displaystyle x}$ 軸，${\displaystyle x=1}$ に囲まれた面積は図のようになる．

図より，${\displaystyle 1\leqq x\leqq 2}$のとき${\displaystyle y\geqq 0}$であるから， 求める面積$S$ は面積の計算より

${\displaystyle S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}(-x^4+2x^3)dx}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}\right]}_1^2}$

${\displaystyle =\left(-\frac{2^5}{5}+\frac{2^4}{2}\right)-\left(-\frac{1^5}{5}+\frac{1^4}{2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{13}{10}}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日：2023年11月13日