定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^{7}xdx}$ 　

■ヒント

ウォリス積分

を用いる．

■答

ヒントの公式の ${\displaystyle n}$ に代入する値が${\displaystyle 7}$ （奇数）なので，以下のようになる．

与式${\displaystyle =\frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1}$ ${\displaystyle =\frac{16}{35}}$ 　

●別解

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{7}xdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\left({\sin }^{2}x\right)}^3\sin xdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\left(1-{\cos }^{2}x\right)}^3\sin xdx}}$

${\displaystyle \cos x=t}$ とおく置換積分で解く．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ より${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

${\displaystyle x:0\to \frac{\pi }{2}}$ のとき${\displaystyle t:1\to 0}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^0{\left(1-t^2\right)}^3}\left(-dt\right)}$

${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_1^0{\left(1-t^2\right)}^3}dt}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-t^2\right)}^3}dt}$

3乗の展開公式を利用する．

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{\left(1-3t^2+3t^4-t^6\right)}^3}dt}$

${\displaystyle ={\left[t-t^3+\frac{3}{5}{t}^5-\frac{1}{7}{t}^7\right]}_0^1}$

${\displaystyle =1-1+\frac{3}{5}-\frac{1}{7}}$

${\displaystyle =\frac{21-6}{35}}$

${\displaystyle =\frac{16}{35}}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年7月29日