部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int e^{x}sinxdx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ 　

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)={\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x}$ より

${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$，${\displaystyle g\left(x\right)=sinx}$ 　 　

として部分積分を行う． 

${\displaystyle \int e^{x}sinxdx}$ 　

${\displaystyle =\int {\left(e^x\right)}^{\prime }sinxdx}$　(この式は公式の左辺の ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応している）

${\displaystyle =e^{x}sinx-\int e^x{\left(sinx\right)}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ に対応している）

${\displaystyle =e^{x}sinx-\int {\left(e^x\right)}^{\prime }cosxdx}$ 　

（ 次は ${\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }cosxdx}$ の部分積分を行う ）

${\displaystyle =e^x\sin x}$${\displaystyle -\left\{e^x\cos x-\int e^x{\left(\cos x\right)}^{\prime }dx\right\}}$

${\displaystyle =e^{x}sinx-e^{x}cosx}$${\displaystyle -\int e^{x}sinxdx}$　･･････(1) 　

ここで，右辺の式の中に，左辺の積分の式と同じものが現れたため，左辺の積分の式を ${\displaystyle I}$ とおき${\displaystyle I}$ に関する方程式とし，${\displaystyle I}$を求める．

${\displaystyle I=\int e^{x}sinxdx}$ 　とおくと(1)は

${\displaystyle I=e^{x}sinx-e^{x}cosx-I}$　･･････(2) 　

となる．(2)を$I$について解く.

${\displaystyle 2I=e^{x}sinx-e^{x}cosx}$ 　

（右辺の ${\displaystyle I}$を左辺に移項した）

${\displaystyle I=\frac{1}{2}{e}^{x}sinx-\frac{1}{2}{e}^{x}cosx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)}$ 　

積分定数を加えて

${\displaystyle \int e^{x}sinxdx=\frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)}$${\displaystyle +C}$　　（$C$は積分定数）

●別解

${\displaystyle {\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)={\left(-\cos x\right)}^{\prime }=\sin x}}$ より

${\displaystyle f(x)=-\cos x}$ ， ${\displaystyle g(x)=e^x}$ 　

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int e^x\sin xdx}$

${\displaystyle =\int e^x{(-\cos x)}^{\prime }dx}$　(この式は公式の左辺の ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応している）

${\displaystyle =e^x\left(-\cos x\right)-{\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\left(-\cos x\right)dx}}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ に対応している）

${\displaystyle =-e^x\cos x+{\displaystyle \int e^x{\left(\sin x\right)}^{\prime }dx}}$ 　

（ 次は ${\displaystyle {\displaystyle \int e^x{\left(\sin x\right)}^{\prime }dx}}$ の部分積分を行う ）

${\displaystyle =-e^x\cos x}$${\displaystyle +\left\{e^x\sin x-{\displaystyle \int {\left(e^x\right)}^{\prime }\sin xdx}\right\}}$

${\displaystyle =-e^x\cos x+e^x\sin x}$${\displaystyle -{\displaystyle \int e^x\sin xdx}}$ 　･･････(3) 　

ここで，右辺の式の中に，左辺の積分の式と同じものが現れたため，左辺の積分の式を ${\displaystyle I}$ とおき${\displaystyle I}$ に関する方程式とし，${\displaystyle I}$を求める．

${\displaystyle I=\int e^{x}sinxdx}$ 　とおくと(3)は

${\displaystyle I=-e^x\cos x+e^x\sin x-I}$ 　･･････(4) 　

となる．(4)を$I$について解く.

${\displaystyle 2I=-e^x\cos x+e^x\sin x}$ 　

（右辺の ${\displaystyle I}$ を左辺に移項した）

${\displaystyle 2I=-e^x\cos x+e^x\sin x}$ 　

${\displaystyle I=\frac{1}{2}{e}^x\left(\sin x-\cos x\right)}$ 　

積分定数を加えて

${\displaystyle \int e^{x}sinxdx=\frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)}$${\displaystyle +C}$　　（$C$は積分定数）

 　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{2}{e}^x\left(sinx-cosx\right)+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle e^{x}sinx}$に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2024年5月13日