部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

e x sinx dx  

■答

1 2 e x ( sinxcosx )+C    Cは積分定数)

■ヒント

部分積分法

f ( x )g( x )dx =f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx  

の公式を用いる.

■解説

f ( x )= ( e x ) = e x より

f( x )= e x g( x )=sinx    

として部分積分を行う. 

e x sinx dx  

= ( e x ) sinx dx  (この式は公式の左辺の f ( x )g( x )dxに対応している)

= e x sinx e x ( sinx ) dx  

(この式は公式の右辺の f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx に対応している)

= e x sinx ( e x ) cosx dx  

( 次は ( e x ) cosx dx の部分積分を行う )

= e x sinx e x cosx e x cosx dx

= e x sinx e x cosx e x sinx dx  ・・・・・・(1)  

ここで,右辺の式の中に,左辺の積分の式と同じものが現れたため,左辺の積分の式を I とおき I に関する方程式とし, I を求める.

I= e x sinx dx  とおくと(1)は

I= e x sinx e x cosx I  ・・・・・・(2)  

となる.(2)をIについて解く.

2 I= e x sinx e x cosx  

(右辺の I を左辺に移項した)

I= 1 2 e x sinx 1 2 e x cosx  

= 1 2 e x ( sinxcosx )  

積分定数を加えて

e x sinx dx= 1 2 e x ( sinxcosx ) +C    Cは積分定数)

●別解

f ( x ) = ( cos x ) = sin x より

f ( x ) = cos x g ( x ) = e x  

として部分積分を行う.

e x sin xdx

= e x ( cos x ) dx  (この式は公式の左辺の f ( x )g( x )dxに対応している)

= e x cosx e x cosx dx  

(この式は公式の右辺の f( x )g( x ) f( x ) g ( x )dx に対応している)

= e x cosx+ e x sinx dx  

( 次は e x sinx dx の部分積分を行う )

= e x cosx + e x sinx e x sinxdx

= e x cosx+ e x sinx e x sinxdx  ・・・・・・(3)  

ここで,右辺の式の中に,左辺の積分の式と同じものが現れたため,左辺の積分の式を I とおき I に関する方程式とし, I を求める.

I= e x sinx dx  とおくと(3)は

I= e x cosx+ e x sinxI  ・・・・・・(4)  

となる.(4)をIについて解く.

2I= e x cosx+ e x sinx  

(右辺の I を左辺に移項した)

2I= e x cosx+ e x sinx  

I= 1 2 e x sinxcosx  

積分定数を加えて

e x sinx dx= 1 2 e x ( sinxcosx ) +C    Cは積分定数)

  

■確認問題

求まった答え 1 2 e x ( sinxcosx )+C を微分し,積分前の式 e x sinx に戻ることを確認しなさい.


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最終更新日: 2024年5月13日