部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int {\left(log2x\right)}^{3}dx}$ 　

■答

${\displaystyle x{\left(log2x\right)}^3-3x{\left(log2x\right)}^2+6x\left(log2x\right)}$${\displaystyle -6x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ 　

を用いる．

■解説

${\displaystyle x^{\prime }=1}$より

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$，${\displaystyle g\left(x\right)={\left(log2x\right)}^3}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int {\left(log2x\right)}^{3}dx}$ 　

${\displaystyle =\int x^{\prime }{\left(log2x\right)}^{3}dx}$　（この式は公式の左辺の${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^3-\int x{\left\{{\left(log2x\right)}^3\right\}}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^3}$${\displaystyle -\int x\cdot 3\cdot {\left(log2x\right)}^2\cdot \frac{1}{2x}\cdot 2dx}$ 　

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^3-3\int {\left(log2x\right)}^{2}dx}$ 　

ここで，${\displaystyle \int {\left(log2x\right)}^{2}dx}$の計算を行う．先程と同じように

${\displaystyle x^{\prime }=1}$より

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ 　， ${\displaystyle g\left(x\right)={\left(log2x\right)}^2}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int {\left(log2x\right)}^{2}dx}$ 　

${\displaystyle =\int x^{\prime }{\left(log2x\right)}^{2}dx}$　（この式は公式の左辺の${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^2-\int x{\left\{{\left(log2x\right)}^2\right\}}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^2}$${\displaystyle -\int x\cdot 2\cdot \left(log2x\right)\cdot \frac{1}{2x}\cdot 2dx}$ 　

となる．

さらに，ここで，${\displaystyle \int \left(log2x\right)dx}$の計算を行う．また先程と同じように

${\displaystyle x^{\prime }=1}$ 　より

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ 　， ${\displaystyle g\left(x\right)=\left(log2x\right)}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int \left(log2x\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\int x^{\prime }\left(log2x\right)dx}$　（この式は公式の左辺の${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x\left(log2x\right)-\int x{\left\{\left(log2x\right)\right\}}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x\left(log2x\right)-\int x\cdot \frac{1}{2x}\cdot 2dx}$ 　

${\displaystyle =x\left(log2x\right)-\int dx}$ 　

${\displaystyle =x\left(log2x\right)-x+C}$ 　

となる．

最後に，これまでに求めたものを順に代入する．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle x{\left(log2x\right)}^3-3x{\left(log2x\right)}^2+6x\left(log2x\right)}$${\displaystyle -6x+C}$を微分し，積分前の式 ${\displaystyle {\left(log2x\right)}^3}$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月23日