平面図形の重心を求める問題

■問題

直線 ${\displaystyle y=\frac{3}{2}x}$と直線$x=2$と ${\displaystyle x}$ 軸で囲まれた図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めよ．ただし，重心 の ${\displaystyle x}$ 座標を${\displaystyle x_{\text{G}}}$ ， ${\displaystyle y}$ 座標を ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ とする．

■答

${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{4}{3},1\right)}$

■ヒント

平面の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_c^{d}yg\left(y\right)dy}$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積$S$を求める

図より（面積の求め方は，面積の計算を参照）

${\displaystyle S={\displaystyle {\int }_0^2\frac{3}{2}xdx}}$${\displaystyle =\frac{3}{2}{\displaystyle {\int }_0^{2}xdx}}$${\displaystyle =\frac{3}{2}{\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^2}$${\displaystyle =\frac{3}{2}\left\{\frac{1}{2}\left(2^2-0^2\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}·4\right)}$ ${\displaystyle =\frac{3}{2}·2}$${\displaystyle =3}$

●${\displaystyle x_{\text{G}}}$を求める

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_0^{2}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle S=3}$ と ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3}{2}x}$を式に代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\displaystyle {\int }_0^{2}x·\frac{3}{2}xdx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}·\frac{3}{2}{\displaystyle {\int }_0^2{x}^{2}dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{3}\left(2^3-0^3\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}·8\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}·\frac{8}{3}}$

${\displaystyle =\frac{4}{3}}$

　

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最終更新日： 2023年11月22日