平面図形の重心を求める問題

■問題

直線${\displaystyle y=x}$ と曲線${\displaystyle y=x^2-4x+4}$ で囲まれた図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めよ．ただし，重心 の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_{\text{G}}}$ ， ${\displaystyle y}$ 座標を ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ とする．

■答

${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{8}{5}\right)}$ 

■ヒント

平面の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_c^{d}yg\left(y\right)dy}$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積$S$を求める

まず，直線${\displaystyle y=x}$ と曲線${\displaystyle y=x^2-4x+4}$の交点を求める.

(1)を(2)に代入する．

${\displaystyle x=x^2-4x+4}$　･･････(3)

(3)を$x$ について解く．

${\displaystyle x^2-5x+4=0}$ ，${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-4\right)=0}$ ，${\displaystyle x=1,4}$　･･････(4)

(4)と(1)より，交点座標は

$\left(1,1\right)$，$\left(4,4\right)$

となる．

よって，求める面積$S$は（面積の求め方は，面積の計算を参照）

${\displaystyle S={\displaystyle {\int }_1^4\left|f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right|dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^4\left\{x-\left(x^2-4x+4\right)\right\}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^4\left(-x^2+5x-4\right)dx}}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2-4x\right]}_1^4}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3}\cdot 4^3+\frac{5}{2}\cdot 4^2-4\cdot 4}$${\displaystyle -\left(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+\frac{5}{2}\cdot 1^2-4\cdot 1\right)}$

${\displaystyle =-\frac{64}{3}+40-16+\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-1}$

${\displaystyle =-21+23+\frac{5}{2}}$

${\displaystyle =\frac{9}{2}}$

●${\displaystyle x_{\text{G}}}$を求める

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_1^{4}xf\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}{\displaystyle {\int }_1^{4}x\left\{x-\left(x^2-4x+4\right)\right\}dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}{\displaystyle {\int }_1^{4}x\left(-x^2+5x-4\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}{\displaystyle {\int }_1^4\left(-x^3+5x^3-4x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}{\left[-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-2x^2\right]}_1^4}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}\left(-94+105+\frac{1}{4}\right)}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}\cdot \frac{45}{4}}$

${\displaystyle =\frac{5}{2}}$

●${\displaystyle y_{\text{G}}}$を求める

まず,$g\left(y\right)$ を求める．$y$の範囲によって$g\left(y\right)$が異なることに注意する.

${\displaystyle y=x^2-4x+4}$ より

${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2}$

${\displaystyle \pm \sqrt{y}=x-2}$

${\displaystyle x=2\pm \sqrt{y}}$

となる．

${\displaystyle 0\leqq y<1}$ のとき

${\displaystyle g\left(y\right)=2+\sqrt{y}-\left(2-\sqrt{y}\right)}$${\displaystyle =2\sqrt{y}}$

${\displaystyle 1\leqq y<4}$ のとき

$g\left(y\right)=2+\sqrt{y}-y$

よって

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_0^{4}yg\left(y\right)dy}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\frac{9}{2}}\left\{{\displaystyle {\int }_0^{1}y\cdot 2\sqrt{y}dy}+{\displaystyle {\int }_1^{4}y\cdot \left(2+\sqrt{y}-y\right)dy}\right\}}$　･･････(5)

となる.積分は個別に計算することにする.

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{1}y·2\sqrt{y}dy}}$${\displaystyle =2{\displaystyle {\int }_0^1{y}^{\frac{3}{2}}dy}}$${\displaystyle =2{\left[\frac{2}{5}{y}^{\frac{5}{2}}\right]}_0^1}$${\displaystyle =2\left\{\frac{2}{5}\left(1^{\frac{5}{2}}-0^{\frac{5}{2}}\right)\right\}}$${\displaystyle =2\left(\frac{2}{5}·1\right)}$${\displaystyle =2·\frac{2}{5}}$${\displaystyle =\frac{4}{5}}$　･･････(6)

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^{4}y\cdot \left(2+\sqrt{y}-y\right)dy}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^4\left(2y+y^{\frac{3}{2}}-y^2\right)dy}}$

${\displaystyle ={\left[y^2+\frac{2}{5}{y}^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}{y}^3\right]}_1^4}$

${\displaystyle =4^2+\frac{2}{5}\cdot 4^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}\cdot 4^3}$${\displaystyle -\left(1^2+\frac{2}{5}\cdot 1^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}\cdot 1^3\right)}$

${\displaystyle =16+\frac{64}{5}-\frac{1}{3}\cdot 64}$${\displaystyle -\left(1+\frac{2}{5}-\frac{1}{3}\right)}$

${\displaystyle =15+\frac{62}{5}-\frac{63}{3}}$

${\displaystyle =-6+\frac{62}{5}}$

${\displaystyle =\frac{32}{5}}$　･･････(7)

(6)，（7）を(5)に代入する

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{2}{9}\left(\frac{4}{5}+\frac{32}{5}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{2}{9}·\frac{36}{5}}$${\displaystyle =\frac{8}{5}}$

よって，図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置は

${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{8}{5}\right)}$

となる．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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