平面図形の重心を求める問題

■問題

曲線 ${\displaystyle y=\frac{3}{4}{x}^2}$ と直線$x=2$と${\displaystyle x}$軸に囲まれた図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めよ．ただし，重心の${\displaystyle x}$ 座標を${\displaystyle x_{\text{G}}}$ ，${\displaystyle y}$ 座標を${\displaystyle y_{\text{G}}}$とする．

■答

${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{9}{10}\right)}$

■ヒント

平面の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_c^{d}yg\left(y\right)dy}$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積$S$を求める

図より（面積の求め方は，面積の計算を参照）

${\displaystyle S={\displaystyle {\int }_0^2\frac{3}{4}{x}^{2}dx}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}{\displaystyle {\int }_0^2{x}^{2}dx}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^2}$${\displaystyle =\frac{3}{4}\left\{\frac{1}{3}\left(2^3-0^3\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}·8\right)}$${\displaystyle =\frac{3}{4}·\frac{8}{3}}$${\displaystyle =2}$ 　

●${\displaystyle x_{\text{G}}}$を求める

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_0^{2}xf\left(x\right)dx}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{2}x·\frac{3}{4}{x}^{2}dx}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}·\frac{3}{4}{\displaystyle {\int }_0^2{x}^{3}dx}}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{8}{\left[\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^2}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{8}\left\{\frac{1}{4}\left(2^4-0^4\right)\right\}}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{8}\left(\frac{1}{4}·16\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{8}·4}$ 　

${\displaystyle =\frac{3}{2}}$ 　

●${\displaystyle y_{\text{G}}}$を求める

まず，${\displaystyle g\left(y\right)}$ を求める．

${\displaystyle y=\frac{3}{4}{x}^2}$ より

${\displaystyle x=\frac{2\sqrt{3}}{3}y}$

よって

${\displaystyle g\left(y\right)=2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{y}}$

となる

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_0^{3}yg\left(y\right)dy}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_0^{3}y·\left(2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{y}\right)dy}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^3\left(2y-\frac{2\sqrt{3}}{3}{y}^{\frac{3}{2}}\right)dy}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[y^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{2}{5}{y}^{\frac{5}{2}}\right]}_0^3}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(3^2-\frac{4\sqrt{3}}{15}\cdot 3^{\frac{5}{2}}\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(9-\frac{4\sqrt{3}}{15}\cdot 3^2\sqrt{3}\right)}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(9-\frac{36}{5}\right)}$ 　 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}·\frac{9}{5}}$

${\displaystyle =\frac{9}{10}}$ 　

以上より，図形の重心${\displaystyle \text{G}}$の位置は，${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{9}{10}\right)}$ となる．

　

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最終更新日： 2023年11月22日