平面図形の重心を求める問題

■問題

直線${\displaystyle y=\frac{2}{3}x}$ と直線$y=2$ と${\displaystyle y}$軸に囲まれた図形の重心${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めよ．ただし，重心の${\displaystyle x}$座標を${\displaystyle x_{\text{G}}}$，${\displaystyle y}$座標を${\displaystyle y_{\text{G}}}$とする．

■答

図形の重心${\displaystyle \text{G}}$の位置は， ${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(1,\frac{4}{3}\right)}$ となる．

■ヒント

平面の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_c^{d}yg\left(y\right)dy}$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積$S$を求める

図より（面積の求め方は，面積の計算を参照）

${\displaystyle S={\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^3\left(2-\frac{2}{3}x\right)dx}}$ ${\displaystyle ={\left[2x-\frac{1}{3}{x}^2\right]}_0^3}$${\displaystyle =6-3}$ ${\displaystyle =3}$

●${\displaystyle x_{\text{G}}}$を求める

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_0^{3}xf\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\displaystyle {\int }_0^{3}x\left(2-\frac{2}{3}x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\displaystyle {\int }_0^3\left(2x-\frac{2}{3}{x}^2\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left[x^2-\frac{2}{9}{x}^3\right]}_0^3}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(9-6\right)}$

${\displaystyle =1}$

●${\displaystyle y_{\text{G}}}$を求める

まず，${\displaystyle g\left(y\right)}$ を求める．

${\displaystyle y=\frac{2}{3}x}$ より

${\displaystyle x=\frac{3}{2}y}$

よって

${\displaystyle g\left(y\right)=\frac{3}{2}y}$

となる

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_0^{2}yg\left(y\right)dx}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}{\displaystyle {\int }_0^{2}y\cdot \frac{3}{2}ydx}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}{\displaystyle {\int }_0^2\frac{3}{2}{y}^{2}dx}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left[\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}{y}^3\right]}_0^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 4}$ ${\displaystyle =\frac{4}{3}}$

よって，図形の重心${\displaystyle \text{G}}$の位置は， ${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(1,\frac{4}{3}\right)}$ となる．

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最終更新日： 2023年11月22日