定積分

■問題

次の定積分の値を求めよ.

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sin x\cos xdx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}}$

■ヒント

${\displaystyle \sin x\cos x}$ の部分を，2倍角の公式を用いて解く．

■解説

${\displaystyle \sin }$ の2倍角の公式は，

${\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}$

であるから，${\displaystyle \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x}$

よって，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sin x\cos xdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{2}\sin 2xdx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sin 2xdx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}{\left[\cos 2x\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}\left(\cos 2\cdot \frac{\pi }{4}-\cos 2\cdot 0\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}\left(\cos \frac{\pi }{2}-\cos 0\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}\left(0-1\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}}$

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最終更新日：2023年11月14日