置換積分の問題

■問題

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-2,0\right)}$ ，点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(0,4\right)}$ ，点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(4,0\right)}$ を頂点とする三角形の重心の座標を求めよ．

■ヒント

平面の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_c^{d}yg\left(y\right)dy}$

の公式を用いる．

■解説

三角形の面積 $S$ は

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12}$ ･･････(1)

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-2,0\right)}$ ，点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(0,4\right)}$ を通る直線の方程式は

${\displaystyle y=2x+4}$ ･･････(2)

点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(0,4\right)}$ ，点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(4,0\right)}$ を通る直線の方程式は

${\displaystyle y=-x+4}$ ･･････(3)

である．よって

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{12}{\displaystyle {\int }_{-2}^{4}xf\left(x\right)}dx}$

${\displaystyle =\frac{8}{12}}$

${\displaystyle =\frac{2}{3}}$ ･･････(4)

(2)，(3)を ${\displaystyle x=}$ の形に式変形をすると

${\displaystyle x=\frac{1}{2}y-2}$ ･･････(5)

${\displaystyle x=-y+4}$ ･･････(6)

よって

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{12}{\displaystyle {\int }_0^{4}yg\left(y\right)dy}}$

${\displaystyle =\frac{1}{12}{\displaystyle {\int }_0^{4}y\left(-\frac{3}{2}y+6\right)dy}}$

${\displaystyle =\frac{1}{12}{\displaystyle {\int }_0^4\left(-\frac{3}{2}{y}^2+6y\right)dy}}$

${\displaystyle =\frac{1}{12}{\left[-\frac{1}{2}{y}^3+3y^2\right]}_0^4}$

${\displaystyle =\frac{1}{12}\left(-32+48\right)}$

${\displaystyle =\frac{16}{12}}$

${\displaystyle =\frac{4}{3}}$ ･･････(7)

以上より，重心の座標は

${\displaystyle \left(\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)}$

となる．

三角形の重心 ${\displaystyle \overrightarrow{g}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$ を用いると

${\displaystyle \overrightarrow{g}=\frac{1}{3}\left\{\left(-2,0\right)+\left(0,4\right)+\left(4,0\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(2,4\right)}$

${\displaystyle =\left(\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)}$

となり，積分で求めた座標と一致する．

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最終更新日： 2025年11月2日