基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ．

${log}_{8} 125 - {log}_{4} 10 - {log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{10}})$

■答

${log}_{2} 5$

■ヒント

対数計算の手順を参照

■計算

${log}_{8} 125 - {log}_{4} 10 - {log}_{2} (\frac{1}{\sqrt{10}})$

$= \frac{{log}_{2} 125}{{log}_{2} 8} - \frac{{log}_{2} 10}{{log}_{2} 4} - {log}_{2} {(\sqrt{10})}^{- 1}$

$= \frac{{log}_{2} 125}{{log}_{2} 8} - \frac{{log}_{2} 10}{{log}_{2} 4} - {log}_{2} {(10)}^{\frac{1}{2} \times (- 1)}$

$= \frac{{log}_{2} 5^{3}}{{log}_{2} 2^{3}} - \frac{{log}_{2} 10}{{log}_{2} 2^{2}} - {log}_{2} (10^{- \frac{1}{2}})$

$= \frac{3 {log}_{2} 5}{3 {log}_{2} 2} - \frac{{log}_{2} 10}{2 {log}_{2} 2} + \frac{1}{2} {log}_{2} 10$

$= {log}_{2} 5$

■解説

まず，対数の底を $2$ で統一する．なぜなら，他の底が $8$ ， $4$ と $2$ の倍数になっているからである．

$\log_{8} 125 - \log_{4} 10 - \log_{2} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ $= \frac{\log_{2} 125}{\log_{2} 8} - \frac{\log_{2} 10}{\log_{2} 4} - \log_{2} (\frac{1}{\sqrt{10}})$

真数を $a^{r}$ の形にする．

$\frac{\log_{2} 125}{\log_{2} 8} - \frac{\log_{2} 10}{\log_{2} 4} - \log_{2} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ $= \frac{\log_{2} 5^{3}}{\log_{2} 2^{3}} - \frac{\log_{2} 10}{\log_{2} 2^{2}} - \log_{2} (10^{- \frac{1}{2}})$

${log}_{a} R^{t} = t {log}_{a} R$ より

$\frac{\log_{2} 5^{3}}{\log_{2} 2^{3}} - \frac{\log_{2} 10}{\log_{2} 2^{2}} - \log_{2} (10^{- \frac{1}{2}})$ $= \frac{3 \log_{2} 5}{3 \log_{2} 2} - \frac{\log_{2} 10}{2 \log_{2} 2} + \frac{1}{2} \log_{2} 10$

次に ${log}_{a} a = 1$ より

$\frac{3 {log}_{2} 5}{3 {log}_{2} 2} - \frac{{log}_{2} 10}{2 {log}_{2} 2} + \frac{1}{2} {log}_{2} 10$ $= \frac{3 {log}_{2} 5}{3} - \frac{{log}_{2} 10}{2} + \frac{{log}_{2} 10}{2}$ $= {log}_{2} 5$

ゆえに

$\log_{8} 125 - \log_{4} 10 - \log_{2} (\frac{1}{\sqrt{10}})$ $= \log_{2} 5$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月29日