基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^x=8}$

■答

${\displaystyle x=-3}$

■計算

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^x}$${\displaystyle =8}$

${\displaystyle 2^{-x}}$${\displaystyle =2^3}$

${\displaystyle -x}$${\displaystyle =3}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle =-3}$

■解説

与式を見ると，左辺，右辺ともに底が$2$である指数を用いた表現に変更することができる．

まずは左辺を変更する．指数法則を用いると

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^x={\left(2^{-1}\right)}^x=2^{-x}}$

となる．次に右辺を変更する．

${\displaystyle 8=2\times 2\times 2=2^3}$

即ち与式は

${\displaystyle 2^{-x}=2^3}$

と式変形できた．

いま，上の式の右辺と左辺は等しい．なおかつ，底は$2$で統一されているので

指数の値も等しい．つまり

${\displaystyle -x=3}$

が成り立つ．

よって，求める$x$の値は

${\displaystyle x=-3}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日