基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle {\left(0.5\right)}^x>0.25}$

■答

${\displaystyle x<2}$

■計算

${\displaystyle {\left(0.5\right)}^x}$${\displaystyle >0.25}$

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^x}$${\displaystyle >\frac{1}{4}}$

${\displaystyle {\left(2^{-1}\right)}^x}$${\displaystyle >4^{-1}}$

${\displaystyle 2^{-1·x}}$ ${\displaystyle >{\left(2^2\right)}^{-1}}$

${\displaystyle 2^{-x}}$${\displaystyle >2^{-2}}$

底が$2$ ($>1$ )より

${\displaystyle -x}$${\displaystyle >-2}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <2}$

●別解

${\displaystyle {\left(0.5\right)}^x}$${\displaystyle >0.25}$

${\displaystyle {\left(0.5\right)}^x}$${\displaystyle >{\left(0.5\right)}^2}$

底が$0.5$ ($0<0.5<1$ )より

${\displaystyle x<2}$

■解説

両辺を${\displaystyle a^r}$ の形に式変形する．

${\displaystyle {\left(0.5\right)}^x}$${\displaystyle >0.25}$

${\displaystyle {\left(\frac{5}{10}\right)}^x}$${\displaystyle >\frac{25}{100}}$

${\displaystyle {\left(\frac{1\times 5}{2\times 5}\right)}^x}$${\displaystyle >\frac{1\times 25}{4\times 25}}$

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^x}$${\displaystyle >\frac{1}{4}}$

${\displaystyle {\left(2^{-1}\right)}^x}$${\displaystyle >4^{-1}}$

${\displaystyle 2^{-1·x}}$ ${\displaystyle >{\left(2^2\right)}^{-1}}$　　指数法則より

${\displaystyle 2^{-x}}$${\displaystyle >2^{-2}}$

与式は底が$2$の指数を用いた数に統一された．

底が$2$の指数関数は底が$1$より大きいので，グラフは単調増加である．(ここを参照)

よって，与式の指数における大小関係は変化しない．

指数の関係式は次のようになる．

${\displaystyle -x>-2}$

ゆえに，求める不等式の解は

${\displaystyle x<2}$

●別解

右辺の$0.25$が$0.5$の$2$乗であることに気づくと

${\displaystyle {\left(0.5\right)}^x}$${\displaystyle >0.25}$

${\displaystyle {\left(0.5\right)}^x}$${\displaystyle >{\left(0.5\right)}^2}$

上式の底は$0.5$である．底${\displaystyle a}$ が${\displaystyle 0<a<1}$ のときグラフは単調減少になる．(ここを参照)

このとき指数の大小関係は逆になるので，下の関係式が得られる．

${\displaystyle x<2}$

よって，答が得られた．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日