基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数不等式を解け.

( 1 3 ) 2x > 27 x+1

■答

x< 3 5

■計算

( 3 1 ) 2x > ( 3 3 ) x+1

3 -2x > 3 3( x+1 )

底は3 >1 )より(このページを参照)

2x >3( x+1 )

2x >3x+3

5x >3

x < 3 5

■解説

与式を見ると,左辺,右辺は

1 3 = 3 1

27 = 3 3

となり,底を3に統一することができる.

右辺を式変形する.指数法則を用いると

27 x+1 = ( 3 3 ) x+1 = 3 3( x+1 )  

となる.

左辺も同様に指数法則を用いて変形すると

( 1 3 ) 2x = ( 3 1 ) 2x = 3 2x  

となる.よって与式は

3 2x > 3 3x+1

となる.

31より大きいので, 3 r の値の大小関係は指数 r の大小関係と対応している.(ここを参照)

2x>3( x+1 )

が成り立つ.これについてx について解くと

2x >3x+3

5x >3

両辺を 5( <0 ) で割ると,不等号の向きが変わり,求める x の範囲は

x< 3 5

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年11月28日