基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}>{27}^{x+1}}$

■答

${\displaystyle x<-\frac{3}{5}}$

■計算

${\displaystyle {\left(3^{-1}\right)}^{2x}}$${\displaystyle >{\left(3^3\right)}^{x+1}}$

${\displaystyle 3^{-2x}}$${\displaystyle >3^{3\left(x+1\right)}}$

底は$3$（$>1$ ）より（このページを参照）

${\displaystyle -2x}$${\displaystyle >3\left(x+1\right)}$

$-2x$${\displaystyle >3x+3}$

${\displaystyle -5x}$${\displaystyle >3}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle <-\frac{3}{5}}$

■解説

与式を見ると，左辺，右辺は

${\displaystyle \frac{1}{3}}$${\displaystyle =3^{-1}}$

${\displaystyle 27}$${\displaystyle =3^3}$

となり，底を$3$に統一することができる．

右辺を式変形する．指数法則を用いると

${\displaystyle {27}^{x+1}={\left(3^3\right)}^{x+1}=3^{3\left(x+1\right)}}$  

となる．

左辺も同様に指数法則を用いて変形すると

${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}={\left(3^{-1}\right)}^{2x}=3^{-2x}}$  

となる．よって与式は

${\displaystyle 3^{-2x}>3^{3x+1}}$

となる．

底$3$は$1$より大きいので，${\displaystyle 3^r}$の値の大小関係は指数${\displaystyle r}$の大小関係と対応している．(ここを参照)

${\displaystyle -2x>3\left(x+1\right)}$

が成り立つ．これについて$x$ について解くと

${\displaystyle -2x}$${\displaystyle >3x+3}$

${\displaystyle -5x}$${\displaystyle >3}$

両辺を ${\displaystyle -5\left(<0\right)}$ で割ると，不等号の向きが変わり，求める${\displaystyle x}$ の範囲は

${\displaystyle x<-\frac{3}{5}}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日