対数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け

${\displaystyle {\left({log}_{3}x\right)}^2-5{log}_{3}9x<-4}$

■答

${\displaystyle 9<x<27}$

■解説

${\displaystyle {\left({log}_{3}x\right)}^2-5{log}_{3}9x}$${\displaystyle <-4}$

ここで，与式の${\displaystyle -5{log}_{3}9x}$ を 対数計算の基本を用いて式を簡単にする．

${\displaystyle -5{log}_{3}9x}$${\displaystyle =-5{log}_{3}x+{log}_{3}9}$${\displaystyle =-5{log}_{3}x+2{log}_{3}3}$${\displaystyle =-5{log}_{3}x+2}$

よって

${\displaystyle {\left({log}_{3}x\right)}^2-5{log}_{3}x+2{log}_{3}3}$${\displaystyle <-4}$

${\displaystyle {\left({log}_{3}x\right)}^2-5{log}_{3}x+6}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle {log}_{3}x=t}$とおく

${\displaystyle t^2-5t+6}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle \left(t-2\right)\left(t-3\right)}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle 2<t<3}$

$t$ を${\displaystyle {log}_{3}x}$に戻す．

${\displaystyle 2}$${\displaystyle <{log}_{3}x}$${\displaystyle <3}$

ここで

${\displaystyle 2}$$={log}_3{3}^2$$={log}_{3}9$

${\displaystyle 3}$${\displaystyle ={log}_3{3}^3}$${\displaystyle ={log}_{3}27}$

より

${\displaystyle 2{log}_{3}3}$${\displaystyle <{log}_{3}x}$${\displaystyle <3{log}_{3}3}$

${\displaystyle {log}_{3}9}$${\displaystyle <{log}_{3}x}$${\displaystyle <{log}_{3}27}$

底が$3$で$1$より大きい．よって，真数を比較すると以下のようになる．

${\displaystyle 9}$${\displaystyle <x}$${\displaystyle <27}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日