対数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け

${\displaystyle {\left({log}_{3}x\right)}^2-5{log}_{3}9x<-4}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ${\displaystyle <x}$${\displaystyle <729}$

■解説

${\displaystyle {\left({log}_{3}x\right)}^2-5{log}_{3}9x}$${\displaystyle <-4}$

ここで，与式の${\displaystyle -5{log}_{3}9x}$ を 対数計算の基本を用いて式を簡単にする．

${\displaystyle -5{log}_{3}9x}$${\displaystyle =-5\left({\log }_{3}x+{\log }_{3}9\right)}$　（∵ ${log}_{a}RS={log}_{a}R+{log}_{a}S$ ）

${\displaystyle =-5\left({\log }_{3}x+{\log }_3{3}^2\right)}$

${\displaystyle =-5\left({\log }_{3}x+2{\log }_{3}3\right)}$　（∵ ${log}_a{R}^t=t{log}_{a}R$ ）

${\displaystyle =-5\left({\log }_{3}x+2\right)}$　（∵ ${\log }_{a}a=1$ ）

$=-5{\log }_{3}x-10$

よって，与式は

${\displaystyle {\left({\log }_{3}x\right)}^2-5{\log }_{3}x-10<-4}$

${\displaystyle {\left({log}_{3}x\right)}^2-5{log}_{3}x-6}$${\displaystyle <0}$

と整理される．

${\displaystyle {log}_{3}x=t}$とおく

${\displaystyle t^2-5t-6}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle \left(t-6\right)\left(t+1\right)}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle -1<t<6}$

$t$ を${\displaystyle {log}_{3}x}$に戻す．

${\displaystyle -1}$${\displaystyle <{log}_{3}x}$${\displaystyle <6}$

ここで

${\displaystyle -1}$${\displaystyle =-1\cdot {\log }_{3}3}$ ${\displaystyle ={\log }_3{3}^{-1}}$ ${\displaystyle ={\log }_3\frac{1}{3}}$

${\displaystyle 6}$${\displaystyle =6{\log }_{3}3}$ ${\displaystyle ={log}_3{3}^6}$${\displaystyle ={log}_{3}729}$

より

${\displaystyle {\log }_3\frac{1}{3}}$ ${\displaystyle <{log}_{3}x}$${\displaystyle <{log}_{3}729}$

底が$3$で$1$より大きい．よって，真数を比較すると以下のようになる．

${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ${\displaystyle <x}$${\displaystyle <729}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年6月2日