指数で表現された数の桁を求める問題

■問題

${\displaystyle 5^{65}}$の桁数を求めよ．また，最上位の数は何か．ただし，${\displaystyle {\log }_{10}2=0.301}$ ，${\displaystyle {\log }_{10}3=0.477}$，${\displaystyle {\log }_{10}7=0.845}$ とする．

■答

$46$桁であり，最上位の数は$2$である．

■解説

${\displaystyle {log}_{10}{5}^{65}}$${\displaystyle =65{log}_{10}5}$${\displaystyle =65\times 0.6990}$${\displaystyle =45.435}$

${\displaystyle 5^{65}}$${\displaystyle ={10}^{45.435}}$ ${\displaystyle ={10}^{45+0.435}}$${\displaystyle ={10}^{0.435}\times {10}^{45}}$

${\displaystyle {10}^0<{10}^{0.435}<{10}^1}$　→　${\displaystyle 1<{10}^{0.435}<10}$

よって，${\displaystyle 5^{65}}$ は$46$ 桁である

${\displaystyle 5^{65}}$${\displaystyle ={10}^{0.435}\times {10}^{45}}$

一方

${\displaystyle {log}_{10}2}$${\displaystyle <0.435}$${\displaystyle <{log}_{10}3}$

${\displaystyle {\log }_{10}2<{\log }_{10}{10}^{0.435}<{\log }_{10}3}$

${\displaystyle 2<{10}^{0.435}<3}$

したがって

${\displaystyle 2\times {10}^{45}<5^{65}<3\times {10}^{45}}$

となる．ゆえに，最上位の数は$2$ となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月26日