指数表現された数の大きさに関する問題

■問題

${\displaystyle {\left(\frac{1}{6}\right)}^{75}}$ は小数第何桁に初めて$0$でない数字が現れるか．また，その$0$でない数を求めよ．ただし，${\displaystyle {\log }_{10}2=0.301}$ ，${\displaystyle {\log }_{10}3=0.477}$，${\displaystyle {\log }_{10}7=0.845}$ とする．

■答

小数第$58$桁に初めて$0$でない数字が現れる．その$0$でない数は3となる

■解説

${\displaystyle {log}_{10}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{75}=-75log6}$${\displaystyle =-75\times 0.7782}$${\displaystyle =-58.365}$

となる．よって

${\displaystyle {\left(\frac{1}{6}\right)}^{75}={10}^{-58.365}}$${\displaystyle ={10}^{-59+0.635}}$${\displaystyle ={10}^{0.631}\times {10}^{-59}}$

${\displaystyle {10}^{-59}<{10}^{0.635}\times {10}^{-59}<{10}^{-58}}$

の関係が得られる．よって，小数第$59$位に初めて$0$でない数字が現れる．

となる．また

${\displaystyle {log}_{10}4<0.635<{log}_{10}5}$

${\displaystyle {\log }_{10}4<{\log }_{10}{10}^{0.635}<{\log }_{10}5}$

${\displaystyle 4<{10}^{0.635}<5}$

となる．よって，初めて$0$でない数値は$4$である．

以上，まとめると，初めて$0$でない数字が現れるのは小数第$59$位で，初めて$0$でない数字は$4$である．

■問題へ戻る

ホームカテゴリー分類関数指数／対数指数に関する問題指数表現された数の大きさに関する問題

作成：学生スタッフ

初版：2009年5月26日，最終更新日： 2023年11月26日