基本的な指数関数のグラフ

■問題

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=2^{x+2}-1}$

■答

■ヒント

基本となるグラフを 平行移動することによって描く．

${\displaystyle y=2^{x+2}-1}$のグラフの場合，基本となるグラフは

${\displaystyle y=2^x}$

である．

■解き方

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$のグラフを${\displaystyle x}$軸方向に${\displaystyle a}$，${\displaystyle y}$軸方向に${\displaystyle b}$平行移動したグラフを表す関数は

${\displaystyle y-b=f\left(x-a\right)}$……${\displaystyle \left(1\right)}$

である.(グラフの平行移動参照)

${\displaystyle y=2^{x+2}-1}$を

${\displaystyle y-\left(-1\right)=2^{\left(x-\left(-2\right)\right)}}$

と変形すると，${\displaystyle y=2^{x+2}-1}$では，${\displaystyle y=2^x}$が${\displaystyle \left(1\right)}$の${\displaystyle f\left(x\right)}$に相当する．

すなわち

${\displaystyle f(x)=2^x}$

である．

${\displaystyle 2^{\left(x-\left(-2\right)\right)}=f\left(x-\left(-2\right)\right)}$

であり，${\displaystyle \left(1\right)}$より${\displaystyle x}$軸方向の平行移動量${\displaystyle a}$に相当するのは${\displaystyle -2}$となる．

また

${\displaystyle y-b=y-\left(-1\right)}$

であり，${\displaystyle \left(1\right)}$より${\displaystyle y}$軸方向の平行移動量${\displaystyle b}$に相当するのは${\displaystyle -1}$となる．

以上より

${\displaystyle y=2^{x+2}-1}$のグラフは${\displaystyle y=2^x}$のグラフを

${\displaystyle x}$軸方向に${\displaystyle -2}$ ，${\displaystyle y}$軸方向に${\displaystyle -1}$

平行移動したものであることがわかる．

したがって，グラフは下図のようになる．

 

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月29日