基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 9^t-4\cdot 3^{t+1}+27<0}$

■答

${\displaystyle 1<t<2}$

■ヒント

${\displaystyle 9^t={\left(3^2\right)}^t={\left(3^t\right)}^2}$ 　指数法則を参照

${\displaystyle 3^{t+1}=3^t\cdot 3=3\cdot 3^t}$

${\displaystyle 3^t=T}$

とおいて，${\displaystyle T}$の2次式と考えて不等式を解く

■解き方

 与式の左辺を変形すると

${\displaystyle {\left(3^2\right)}^t-4\cdot 3^t\cdot 3+27<0}$

${\displaystyle {\left(3^t\right)}^2-12\cdot 3^t+27<0}$

 となる．

 ここで，${\displaystyle 3^t=T}$ とおく．

 ただし，${\displaystyle T>0}$     ･･････(1)

 よって

${\displaystyle T^2-12T+27<0}$

${\displaystyle \left(T-9\right)\left(T-3\right)<0}$

${\displaystyle 3<T<9}$

これは(1)を満たしている．よって

${\displaystyle 3<3^t<9}$

${\displaystyle 3^1<3^t<3^2}$

底は$3$${\displaystyle \left(>1\right)}$より(このページを参照)

求める${\displaystyle t}$の範囲は

${\displaystyle 1<t<2}$

となる．

${\displaystyle f\left(t\right)=9^t-4\cdot 3^{t+1}+27}$

とおくと，下の図のようなグラフになる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日