基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け.

9 t 4 3 t+1 +27<0

■答

1<t<2

■ヒント

9 t = ( 3 2 ) t = ( 3 t ) 2  指数法則を参照

3 t+1 = 3 t 3=3 3 t

3 t =T

とおいて, Tの2次式と考えて不等式を解く

■解き方

 与式の左辺を変形すると

( 3 2 ) t 4 3 t 3+27<0

( 3 t ) 2 12 3 t +27<0

 となる.

 ここで, 3t=T とおく.

 ただし, T>0     ・・・・・・(1)

 よって

T 2 12T+27<0

( T9 )( T3 )<0

3<T<9

これは(1)を満たしている.よって

3< 3 t <9

3 1 < 3 t < 3 2

底は3 ( >1 ) より(このページを参照)

求める tの範囲は

1<t<2

となる.

f( t )= 9 t 4 3 t+1 +27

とおくと,下の図のようなグラフになる.

 

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年11月28日