基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 4^t-3\cdot 2^t-4<0}$

■答

${\displaystyle t<2}$

■ヒント

${\displaystyle 4^t={\left(2^2\right)}^t={\left(2^t\right)}^2}$ 　指数法則を参照

${\displaystyle 2^t=T}$

とおいて，${\displaystyle T}$の2次式と考えて不等式を解く

■解き方

 与式の左辺を変形すると

${\displaystyle {\left(2^2\right)}^t-3\cdot 2^t-4<0}$

${\displaystyle {\left(2^t\right)}^2-3\cdot 2^t-4<0}$

 となる．

 ここで，${\displaystyle 2^t=T}$とおく．

 ただし，${\displaystyle T>0}$ ･･････（１）

 よって

${\displaystyle T^2-3T+4<0}$

${\displaystyle \left(T-4\right)\left(T+1\right)<0}$

${\displaystyle -1<T<4}$ 　　　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle 0<T<4}$

ゆえに

${\displaystyle 0<2^t<2^2}$

底は2${\displaystyle \left(>1\right)}$より(このページを参照)

求める${\displaystyle t}$の範囲は

${\displaystyle t<2}$

  となる．

${\displaystyle f\left(t\right)=4^t-3\cdot 2^t-4}$

とおくと，下の図のようなグラフになる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日