基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

${\displaystyle 9^t-4\cdot 3^{t+1}+27=0}$

■答

${\displaystyle t=1}$，${\displaystyle 2}$

■ヒント

${\displaystyle 9^t={\left(3^2\right)}^t={\left(3^t\right)}^2}$ 　指数法則を参照

${\displaystyle 3^{t+1}=3^t\cdot 3=3\cdot 3^t}$

${\displaystyle 3^t=T}$

とおいて，${\displaystyle T}$の2次式と考えて方程式を解く

■解き方

 与式の左辺を変形すると

${\displaystyle {\left(3^2\right)}^t-4\cdot 3^t\cdot 3+27=0}$

${\displaystyle {\left(3^t\right)}^2-12\cdot 3^t+27=0}$

 となる．

 ここで，${\displaystyle 3^t=T}$とおく．

 ただし，${\displaystyle T>0}$ ･･････(1)

 よって

${\displaystyle T^2-12T+27=0}$

${\displaystyle \left(T-9\right)\left(T-3\right)=0}$

${\displaystyle T=3}$，${\displaystyle 9}$

これは(1)を満たしている．よって

${\displaystyle 3^t=3}$，${\displaystyle 9}$

 これらの式は

${\displaystyle 3^t=3^1}$

${\displaystyle 3^t=3^2}$

 ゆえに

${\displaystyle t=1}$，${\displaystyle 2}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日