基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

${\displaystyle 4^t-3\cdot 2^t-4=0}$

■答

${\displaystyle t=2}$

■ヒント

${\displaystyle 4^t={\left(2^2\right)}^t={\left(2^t\right)}^2}$ 　指数法則を参照

${\displaystyle 2^t=T}$

とおいて，${\displaystyle T}$の2次式と考えて方程式を解く

■解き方

与式の左辺を変形すると

${\displaystyle {\left(2^2\right)}^t-3\cdot 2^t-4=0}$

${\displaystyle {\left(2^t\right)}^2-3\cdot 2^t-4=0}$

となる．

ここで，${\displaystyle 2^t=T}$とおく．

ただし，${\displaystyle T>0}$ ･･････(1)

 よって

${\displaystyle T^2-3T+4=0}$

${\displaystyle \left(T-4\right)\left(T+1\right)=0}$

${\displaystyle T=-1}$，4

(1)より

${\displaystyle T=4}$

よって

${\displaystyle 2^t=4}$

${\displaystyle 2^t=2^2}$

ゆえに

${\displaystyle t=2}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日