ルートを含む計算問題

■問題

次の式を簡単にせよ

${\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}}}$

■答

${\displaystyle 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$

■解き方

${\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}}}$　（分母を簡単な式にするために，分母を通分する）

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}}$

${\displaystyle =\frac{1\times \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\times \sqrt{6}}}$

分母を簡単にするために，分母・分子に $\sqrt{6}$ を掛ける．分数式の計算測1を参照

${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}}$ 　

分母を有理化するために，分母・分子に $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を掛ける．分数式の計算測1を参照

${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}\sqrt{2}}{3-2}}$

${\displaystyle =\left(\sqrt{2}\sqrt{3}\right)\sqrt{3}-\left(\sqrt{2}\sqrt{3}\right)\sqrt{2}}$

${\displaystyle =\sqrt{2}{\left(\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{3}{\left(\sqrt{2}\right)}^2}$

${\displaystyle =3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$

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最終更新日： 2024年10月5日