ルートを含む式の計算問題

■問題

次の式の2重根号をはずし，式を簡単にせよ．

${\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt{6}}}$

■答

${\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{2}}$

■ヒント

2重根号のはずし方を参照する．

■解き方

2重根号のはずし方を参考する．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a+b=5\\ ab=6\end{array}\right.}$

ただし， ${\displaystyle a>b>0}$ ， $b>0$

を満たす $a$ ， $b$ を求めるとよい．

ます， ${\displaystyle a>b>0}$ ，かつ， ${\displaystyle ab=6}$ を満たす $a$ ， $b$ を求めると

${\displaystyle \left(a,b\right)=\left(6,1\right),\left(3,2\right)}$

この内， $a+b=5$ を満たすのは

${\displaystyle \left(a,b\right)=\left(3,2\right)}$

となる．よって

${\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

となる．

●式変形による解答

${\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3-2\sqrt{3\cdot 2}+2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

　

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最終更新日： 2025年12月22日