ルートを含む式の計算問題

■問題

次の式の2重根号をはずし，式を簡単にせよ．

${\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}}$

■答

${\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$

■ヒント

2重根号のはずし方を参照する．

■解き方

2重根号のはずし方を参考する．

根号の前に $2$ がくるように式を変形する．

${\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}$

分子の ${\displaystyle \sqrt{4-2\sqrt{3}}}$ の2重根号をはずす．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a+b=4\\ ab=3\end{array}\right.}$

ただし， ${\displaystyle a>b>0}$

を満たす $a$ ， $b$ を求めるとよい．

${\displaystyle \left(a,b\right)=\left(3,1\right)}$

となる．よって

${\displaystyle \sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1}$

したがって

${\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}$

分母を有理化する．

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$

●式変形による解答

${\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2\sqrt{3}\cdot 1+1^2}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}{2}}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$

　

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最終更新日： 2025年12月22日