因数分解

■問題

次の式を因数分解しなさい．

${\displaystyle a^4+81b^4+9a^2{b}^2}$

■答

${\displaystyle a^4+81b^4+9a^2{b}^2}$${\displaystyle =\left(a^2+3ab+9b^2\right)\left(a^2-3ab+9b^2\right)}$

■ヒント

${\displaystyle a^2}$と${\displaystyle 9b^2}$ に関して対称式になっている．

■解き方

${\displaystyle a^4+81b^4+9a^2{b}^2}$

${\displaystyle a^2}$ に関して降べき順に式を整理する

${\displaystyle ={\left(a^2\right)}^2+9a^2{b}^2+{\left(9b^2\right)}^2}$

${\displaystyle a^2}$と${\displaystyle 9b^2}$ に関して対称式になっていることから以下のように式変形する

${\displaystyle ={\left(a^2+9b^2\right)}^2-18a^2{b}^2+9a^2{b}^2}$

${\displaystyle ={\left(a^2+9b^2\right)}^2-9a^2{b}^2}$

この因数分解の公式を適用できるように変形する．

${\displaystyle ={\left(a^2+9b^2\right)}^2-{\left(3ab\right)}^2}$

${\displaystyle =\left(a^2+9b^2+3ab\right)\left(a^2+9b^2-3ab\right)}$

${\displaystyle a}$ に関して降べきの順に整理する

${\displaystyle =\left(a^2+3ab+9b^2\right)\left(a^2-3ab+9b^2\right)}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年7月20日