整式の割り算

■問題

次の整式 $A$ ， $B$ に関して， $A$ を $B$ で割った商 $Q$ ，余り $R$ を求め， $A = B Q + R$ の形を求めよ．

$A = 2 x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$

$B = x^{2} - 3 x + 1$

■答

$A = B Q + R$ $= (x^{2} - 3 x + 1) (2 x^{2} + 5 x + 7) + 8 x$

■ヒント

筆算を用いて割り算し，商と余りを求める．

■解き方

筆算を用いて $A$ を $B$ で割る．

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + 5 x + 7 \\ x^{2} - 3 x + 1 & \bar{) 2 x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7} \\ \underline{2 x^{4} - 6 x^{3} + 2 x^{2}} \\ 5 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x \\ \underline{5 x^{3} - 15 x^{2} + 5 x} \\ \begin{array}{l} 7 x^{2} - 13 x + 7 \\ \underline{7 x^{2} - 21 x + 7} \\ 8 x \end{array} \end{array}$

よって

$Q = 2 x^{2} + 5 x + 7$ ， $R = 8 x$

したがって

$A = B Q + R$

$= (x^{2} - 3 x + 1) (2 x^{2} + 5 x + 7) + 8 x$

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最終更新日： 2025年12月19日