部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{6}{x^2+4x+3}}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{x+1}-\frac{3}{x+3}}$

■解き方

分母を因数分解すると

${\displaystyle \frac{6}{x^2+4x+3}=\frac{6}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}}$

となる．次に

${\displaystyle \frac{6}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3}}$	${\displaystyle =\frac{A\left(x+3\right)+B\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}}$
	${\displaystyle =\frac{\left(A+B\right)x+3A+B}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{c}A+B=0\\ 3A+B=6\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle B=-A}$

${\displaystyle 3A+\left(-A\right)=6}$

${\displaystyle 2A=6}$

${\displaystyle A=3}$

${\displaystyle B=-3}$

以上より

${\displaystyle \frac{6}{x^2+4x+3}=\frac{3}{x+1}-\frac{3}{x+3}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日