部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x-2}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}}$

■解き方

分母を因数分解すると

${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x-2}=\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}}$

となる．次に，

${\displaystyle \frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}}$	${\displaystyle =\frac{A\left(x+2\right)+B\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}}$
	${\displaystyle =\frac{\left(A+B\right)x+2A-B}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{c}A+B=2\\ 2A-B=1\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle B=2-A}$

${\displaystyle 2A-\left(2-A\right)=1}$

${\displaystyle 3A=3}$

${\displaystyle A=1}$

${\displaystyle B=1}$

以上より

${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x-2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日