部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{5x+1}{x^2-x-12}}$

■答

${\displaystyle \frac{2}{x+3}+\frac{3}{x-4}}$

■解き方

分母を因数分解すると

${\displaystyle \frac{5x+1}{x^2-x-12}=\frac{5x+1}{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}}$

となる．次に，

${\displaystyle \frac{5x+9}{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-4}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-4}}$	${\displaystyle =\frac{A\left(x-4\right)+B\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}}$
	${\displaystyle =\frac{\left(A+B\right)x-4A+3B}{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}}$

よって

${\displaystyle \{\begin{array}{c}A+B=5\\ -4A+3B=1\end{array}}$

の関係が成り立てばよい．

${\displaystyle B=5-A}$

${\displaystyle -4A+3\left(5-A\right)=1}$

${\displaystyle -7A=-14}$

${\displaystyle A=2}$

${\displaystyle B=3}$

以上より

${\displaystyle \frac{5x+9}{x^2-x-12}=\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x-4}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日